Το παράδοξο του ανέφικτου καταλόγου...

Ονομάζουμε αυτοαναφορικά, τα βιβλία εκείνα, μέσα στα οποία αναφέρονται τα ίδια (όπως για παράδειγμα ο Δον Κιχώτης του Θερβάντες, μέσα στο οποίο γίνεται λόγος για τον Δον Κιχώτη ή τα χιλιάδες βιβλία που ο πρόλογος τους αναφέρεται στο ίδιο το βιβλίο). Βρισκόμαστε λοιπόν σε μια βιβλιοθήκη και μας ζητούν να φτιάξουμε έναν κατάλογο με όλα τα ΜΗ ΑΥΤΟΑΝΑΦΟΡΙΚΑ βιβλία της. Προκύπτει τότε το εξής παράδοξο:

• Αν στον κατάλογο δεν συμπεριλάβουμε τον ίδιο τον κατάλογο τότε σημαίνει ότι είναι αυτοαναφορικός, οπότε μέσα του συμπεριλαμβάνει τον εαυτό του!

• Αντίθετα, αν συμπεριλάβουμε στον κατάλογο και τον εαυτό του τότε σημαίνει ότι είναι μη αυτοαναφορικός, άρα δεν συμπεριλαμβάνει τον εαυτό του!

Σκέψη: Το παραπάνω παράδοξο εκφράζει πολύ παραστατικά το συνολοθεωρητικό παράδοξο του Russell, που ταλαιπώρησε για μισό αιώνα τους κακόμοιρους μαθηματικούς και κλόνισε τα θεμέλια της μαθηματικής λογικής. Μέχρι που ανακάλυψαν ότι για αιώνες χρησιμοποιούσαν την έννοια του συνόλου, χωρίς αυτή πραγματικά να ορίζεται...