Διάσημα Προβλήματα Μαθηματικών (Λυμένα)

Το διασηµότερο πρόβληµα στην ιστορία των µαθηµατικών είναι το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου, δηλαδή το πρόβληµα της κατασκευής, µε κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου που να έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα δοσµένο κύκλο. Παρόλο που το πρόβληµα του τετραγωνισµού υπάρχει ήδη σε Αιγυπτιακούς παπύρους του 17ου π.Χ. αιώνα, στη σηµερινή του µορφή, πρέπει να διατυπώθηκε γύρω στον 5ο π.Χ. αιώνα, στην Αρχαία Ελλάδα. Η τελική, αρνητική λύση δόθηκε το 1882 µ.Χ. όταν µε το θεώρηµα Hermite – Lindemann αποδείχθηκε ότι δεν είναι δυνατός ο τετραγωνισµός του κύκλου µε κανόνα και διαβήτη. Μ’ ένα διάστηµα 2300 ετών από την πρώτη του σαφή διατύπωση µέχρι την τελική του λύση, ο τετραγωνισµός του κύκλου είναι αδιαµφισβήτητα το µακροβιότερο πρόβληµα στην ιστορία των µαθηµατικών. Από κοντά και τα δύο άλλα διάσηµα προβλήµατα της αρχαιότητας, ο χωρισµός µε αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη µιας τυχαίας γωνίας σε τρία ίσα µέρη (η τριχοτόµηση της γωνίας) και η κατασκευή ενός κύβου που να έχει όγκο διπλάσιο από ένα δοσµένο κύβο (το «∆ήλειο Πρόβληµα» του διπλασιασµού του κύβου, πάντα µε κανόνα και διαβήτη).
Ας έρθουµε τώρα σε πιο σύγχρονα προβλήµατα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός χρωµάτων που χρειάζονται για να χρωµατίσουµε ένα επίπεδο χάρτη, έτσι ώστε δυο γειτονικές χώρες να µην έχουν το ίδιο χρώµα;. Ήδη από το 1850 είχε, σχετικά εύκολα, αποδειχθεί, ότι πέντε χρώµατα αρκούν για οποιονδήποτε χάρτη. ∆εν είχε όµως βρεθεί κανένα παράδειγµα στο οποίο να είναι απαραίτητα τα πέντε χρώµατα. Έτσι διατυπώθηκε η εικασία, που έγινε γνωστή ως το πρόβληµα των τεσσάρων χρωµάτων, ότι τέσσερα χρώµατα επαρκούν. Χρειάστηκαν 126 χρόνια, µέχρι να αποδειχθεί τελικά ότι η εικασία αυτή είναι αληθινή. Το θεώρηµα των τεσσάρων χρωµάτων είναι µάλιστα το πρώτο πρόβληµα στην ιστορία των µαθηµατικών που λύθηκε µε ουσιαστική βοήθεια από τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.
Μια αναφορά σε διάσηµα προβλήµατα, δε θα ήταν ποτέ πλήρης αν δεν περιελάµβανε και το «Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat»: Η εξίσωση x2+y2=z2 έχει όσες ακέραιες λύσεις θέλουµε. (x=3, y=4, z=5 ή ακόµα x=5, y=12, z=13). Αυτό ήταν άλλωστε γνωστό και στους Βαβυλώνιους ήδη από τη 2η χιλιετία π.Χ. Ο γάλλος «ερασιτέχνης» µαθηµατικός Pierre Fermat γύρω στο 1637, διαβάζοντας τη λατινική µετάφραση των «Αριθµητικών» του ∆ιόφαντου, σηµείωσε στο περιθώριο ότι για καµιά άλλη δύναµη, αυτή η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις. (∆ηλαδή η εξίσωση xν+yν=zν δεν έχει ακέραιες λύσεις για κανένα ν µεγαλύτερο του 2). Το πρόβληµα του Fermat είναι πιθανότατα το πρώτο πρόβληµα στην ιστορία των µαθηµατικών που «επικηρύχθηκε». Το 1908, ανακοινώθηκε ότι ο Paul Wolfskehl, ένας µάλλον άσηµος αλλά αρκετά πλούσιος µαθηµατικός, είχε κληροδοτήσει το ποσό των 100.000 µάρκων για να προσφερθεί από το Πανεπιστήµιο του Göttingen σε όποιον αποδείξει το θεώρηµα του Fermat. Χρειάστηκε να περάσουν ακόµη 87 χρόνια, δηλαδή συνολικά περισσότερα από 350 χρόνια µέχρι το 1995, όταν ο Andrew Wiles έδωσε την τελική απόδειξη.