Θεώρημα Rolle και Θεώρημα Μέσης Τιμής

Τρία σημαντικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού που είναι ισοδύναμα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE

Έστω ότι η    y=f(x)είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Αν   f(a)=f(b), τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε 

f′(ξ)=0.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (LAGRANGE)

Έστω ότι η y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα (a,b). Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε:

f(b)−f(a)b−a=f′(ξ).

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (CAUCHY)

Έστω ότι οι y=f(x) και y=g(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμες στο (a,b) έτσι ώστε g(a)≠g(b) και ώστε σε κανένα x του (a,b) να μην ισχύει f′(x)=g′(x)=0. 

Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο (a,b) ώστε 

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy) αποδεικνύεται βάσει του Θεωρήματος του Rolle, αλλά και το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange) είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Cauchy). 

Πράγματι, αν θεωρήσουμε την g(x) = x στο Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy), τότε προκύπτει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange). Τα τρία αυτά θεωρήματα είναι ισοδύναμα.

πηγή: eisatopon.blogspot.gr