Το πρόβλημα των Συρακουσών

Πολλές φορές στα Μαθηματικά τα πιο απλά ερωτήματα είναι περισσότερο δύσκολο να απαντηθούν. Όπως για παράδειγμα το παρακάτω πρόβλημα:

Σκεφτείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και ακολουθήστε την παρακάτω διαδικασία:

-Αν είναι άρτιος (ζυγός) διαιρέστε δια 2.
-Αν είναι περιττός (μονός) πολλαπλασιάστε επι 3 και προσθέστε το 1.
-Επαναλάβετε τη διαδικασία για τον αριθμό που προκύπτει.

Τότε θα παρατηρήσετε το εξής εκπληκτικό: όποιον αριθμό και να επιλέξετε στην αρχή πάντα θα καταλήγετε στη μονάδα!

π.χ. Ας επιλέξουμε τον αριθμό 7. Αφού είναι περιττός, πολλαπλασιάζω επι 3, προσθέτω 1 και προκύπτει το 22. Τώρα το 22 είναι αρτιος, άρα διαιρώ δια 2 και προκύπτει 11 ... Η σειρά των αριθμών θα είναι:

7>22>11>34>17>52>26>13>40>20>10>5>16>8>4>2>1

Το παραπάνω πρόβλημα που είναι γνωστό ώς Εικασία του Collatz ή το Πρόβλημα των Συρακουσών, τέθηκε το 1936 απο τον μαθηματικό Lothar Collatz ο οποίος αναρωτήθηκε:
"θα καταληγούμε πάντα στο 1, απο όποιον αριθμό και αν ξεκινήσουμε?"

Αυτό το ερώτημα παραμένει αναπάντητο. Και παρόλο που με τη χρήση υπολογιστών έχουμε επαληθεύσει ότι όλοι οι αριθμοί μέχρι τον 2^60 τελικά καταλήγουν στο 1, κανένας δεν έχει ακόμα αποδείξει την Eικασία του Collatz.