Πολύπλοκες Αποδείξεις

Μια μαθηματική απόδειξη είναι αδιάσειστα αληθινή, έκφραση καθαρής λογικής. Όμως αυξανόμενος αριθμός μαθηματικών αποδείξεων είναι αδύνατον να ελεγχθεί με απόλυτη βεβαιότητα, σύμφωνα με τους εμπειρογνώμονες. "Θεωρώ ότι είμαστε σε μία ιστορική στιγμή όπου οι μεγάλες μαθηματικές εκφράσεις είναι τόσο σύνθετες που δεν μπορούμε ποτέ να ξέρουμε με σιγουριά αν είναι αληθείς ή ψευδείς", αναφέρει ο Κέιθ Ντέλβιν του πανεπιστημίου Στάνφορντ.

"Αυτός ο συλλογισμός μας βάζει στην ίδια μοίρα με τους άλλους επιστήμονες", καταλήγει. Για παράδειγμα, ο Ντέλβιν αναφέρει την Ταξινόμηση των Πεπερασμένων Απλών Ομάδων, απόδειξη που αναγγέλθηκε το 1980 και προέκυψε από την συνεργασία μελών όπου ο καθένας συνέφερε κάποιο κομμάτι στην απόδειξη. "Μετά από είκοσι πέντε χρόνια, δεν είμαστε ακόμα βέβαιοι εάν είναι σωστή ή όχι. Κάνουμε διάφορες σκέψεις, όμως κανένας δεν έχει γράψει την πλήρη απόδειξη", καταλήγει ο Ντέλβιν.

"Μέρος του προβλήματος είναι ο κώδικας υπολογιστών που χρησιμοποιείται σήμερα για την κατασκευή αποδείξεων", αναφέρει ο Τόμας Χέιλς από το πανεπιστήμιο του Πίτσμπουργκ, "δεδομένου ότι αυτή η διεργασία καθιστά τις αποδείξεις λιγότερο προσιτές, ακόμη και στους εμπειρογνώμονες". Το 1998 ο Χέιλς προσκόμισε μία απόδειξη του θεωρήματος του Κέπλερ, που χρονολογείται από το 1611, με τη χρήση υπολογιστών. Αυτό περιγράφει τον αποδοτικότερο τρόπο να τοποθετηθούν σφαίρες σε ένα κιβώτιο, ώστε να δαπανηθεί όσο το δυνατόν λιγότερο χώρος. Φαίνεται πως τελικά, η καλύτερη διαρρύθμιση είναι αυτή που μοιάζει με τους σωρούς των πορτοκαλιών που βλέπουμε στα καταστήματα των παντοπωλείων. Η απόδειξη του Χέιλς είναι πάνω από 300 σελίδες και περιλάμβανε 40.000 γραμμές κοινού κώδικα υπολογιστών. Όταν αυτός και οι συνάδελφοί του την έστειλαν σ' ένα επιστημονικό περιοδικό για δημοσίευση, 12 επιστήμονες κλήθηκαν να ελέγξουν την απόδειξη. "Μετά από ένα χρόνο επέστρεψαν την εργασία μας και μας ανακοίνωσαν πως κατά 99% η απόδειξή μας ήταν σωστή", αναφέρει ο Χέιλς. Όμως οι επιστήμονες ζήτησαν να συνεχίσουν την αξιολόγησή τους. Εντούτοις, αυτή η μηδαμινή αβεβαιότητα δεν εξαφανίστηκε με το χρόνο. "Μετά από τέσσερα χρόνια επέστρεψαν την εργασία, ανακοινώνοντάς μας πως ήταν ακόμα 99% βέβαια ότι η απόδειξη ήταν σωστή, αλλά αυτή τη φορά είπαν πως είχαν εξαντληθεί από τον έλεγχο της απόδειξης". Ως αποτέλεσμα το περιοδικό έλαβε στη συνέχεια το ασυνήθιστο μέτρο της έκδοσης της εργασίας χωρίς την πλήρη πιστοποίηση από τους αξιολογητές (Annals of Mathematics, Vol. 162, p. 1063-1183, 2005).

Ακόμη κι η αναθεώρηση των αποδείξεων έχει μπει στον στόχο των υπολογιστών, σύμφωνα με τον Ντέλβιν: "μέρος του ελέγχου, της επαλήθευσης, γίνεται αποκλειστικά από υπολογιστές". Αυτό είχε κάποια επιτυχία, όπως με το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα δεν είναι απαραιτήτως και κακό. "Εάν θέλετε να επιλύσετε ένα πρόβλημα, και με τον υπολογιστή γνωρίζετε πως δεν πρόκειται να κάνετε κάποιο λάθος, φυσικά και θα τον χρησιμοποιήσετε", καταλήγει ο Χέιλς. Και ο Ντελβίν προσθέτει: "όλη αυτή η αβεβαιότητα για τις νέες αποδείξεις θα μπορούσε να είναι καλό για την πειθαρχία των μαθηματικών. Τα καθιστά πιο ανθρώπινα". Οι Ντελβίν και Χέιλς παρουσίασαν την εν λόγω εισήγησή τους στην Ετήσια Συνεδρίαση της Αμερικανικής Ένωσης για την πρόοδο της Επιστήμης, στο Σαιντ Λούις, του Μισσούρι, των ΗΠΑ.