Το σταθερό σημείο

Παράδειγμα 1: Θα μπορούσε ο θεός να σαρώσει με έναν πανταχού παρόντα άνεμο όλη την επιφάνεια του πλανήτη? Όχι...τα Μαθηματικά επιβάλλουν ένα όριο στη θεϊκή οργή: θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο θα επικρατεί νηνεμία. Αυτό είναι το τοπολογικό Θεώρημα του Σταθερού Σημείου. Όπως δεν μπορείς να χτενίσεις μια μαλλιαρή σφαίρα και να την κάνεις παντού ίσια, χωρίς να σχηματίσεις ούτε μια μπούκλα.

Παράδειγμα 2: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 2 φύλλα χαρτί, το ένα πάνω στο άλλο, περιθώριο με περιθώριο, κορυφή με κορυφή, έτσι ώστε κάθε σημείο του ενός φύλλου να είναι ακριβώς πάνω απο το αντίστοιχο σημείο του άλλου. Σκίζουμε το πρώτο φύλλο, το παραμορφώνουμε με όποιο τρόπο θέλουμε, το κάνουμε μια άμορφη μπάλα και την αφήνουμε πάνω στο φύλλο που ήταν απο κάτω του. Το Θεώρημα του Σταθερού Σημείου αποδεικνύει ότι πάντα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο του σκισμένου φύλλου που θα παραμένει ακριβώς πάνω απο το αντίστοιχο του, του άθικτου φύλλου.

Παράδειγμα 3: Πηγαίνουμε απο το σημείο Α στο σημείο Β. Την άλλη μέρα, στα ίδια χρονικά περιθώρια, επιστρέφουμε απο το Β στο Α ακολουθώντας τον ίδιο δρόμο. Ακόμα και αν οι ταχύτητες είναι διαφορετικές, αν κάναμε αυθαίρετες τυχαίες στάσεις είτε στον πηγαιμό είτε στον γυρισμό, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του δρόμου απο το οποίο θα περάσουμε ακριβώς την ίδια χρονική στιγμή και στις 2 διαδρομές.

Ζεν διαλογισμός: Το Θεώρημα του Σταθερού σημείου αποδείχθηκε απο τον ολλανδό Μαθηματικό L.E. Brower το 1912 αλλά στην πραγματικότητα το ανακάλυψε 1000 χρόνια πριν ένας βουδιστής μοναχός: το ξημέρωμα βγαίνει απο το μοναστήρι του και κατευθύνεται προς ένα ναό στη κορυφή ενός βουνού. Δεν κρατάει σταθερό βηματισμό και κάνει διάφορες στάσεις, ανάλογα με την επιθυμία του να διαλογιστεί. Κάποια στιγμή σταματάει να πιει νερό σε μια πηγή και παρατηρεί ότι η σκιά ενός δέντρου πέφτει ακριβώς στο ρυάκι του νερού.
Τη νύχτα φτάνει στο ναό οπού μένει 2 νύχτες και το ξημέρωμα της τρίτης μέρας ξεκινάει το ταξίδι του γυρισμού.Περνώντας μπροστά απο την πηγή, διαπιστώνει ότι το δέντρο ρίχνει τη σκιά του ακριβώς στο ρυάκι του νερού και συμπεραίνει ότι συνέβη μια εκπληκτική σύμπτωση: τόσο όταν πήγαινε όσο και όταν γυρνούσε, πέρασε απο την πηγή ακριβώς την ίδια ώρα.

Όταν όμως το σκέφτηκε για λίγα λεπτά, κατάλαβε ότι δεν ήταν σύμπτωση:
"Αν την ίδια μέρα που, ξημερώματα, ξεκίνησα να πάω στο ναό, είχε ξεκινήσει ένας άλλος μοναχός απο το ναό να έρθει στο μοναστήρι, τότε δεν υπάρχει αμφιβολία ότι σε κάποιο σημείο του δρόμου θα διασταυρωνόμασταν. Κι αφού μία μέρα είναι όλες οι μέρες κι ένας άνθρωπος είναι όλοι οι άνθρωποι, μπορώ να φανταστώ ότι η μέρα του πηγαιμού και η μέρα του γυρισμού μου είναι μία και ότι διασταυρώθηκα με τον εαυτό μου"

(Ερώτηση: Ίσως μια ανάλογη αρχή της νοητικής τοπολογίας να είναι αυτή που εγγυάται τη συνέχεια του ¨εγώ¨, ακόμα και μέσα από τις βιαιότερες εσωτερικές πιέσεις και αλλαγές;)