Διάσημα Προβλήματα Μαθηματικών (Άλυτα)

1. Η εικασία του Goldbach: Σε µια επιστολή του προς τον Eüler το 1742, ο ρώσος µαθηµατικός Christian Goldbach διατύπωνε την εικασία ότι κάθε άρτιος (ζυγός) ακέραιος µεγαλύτερος του 2 µπορεί να γραφεί ως άθροισµα δύο πρώτων. Η εικασία του Goldbach, εκτός από ένα πολύ δύσκολο πρόβληµα µε απλή διατύπωση είναι χωρίς αµφιβολία και το αγαπηµένο παιδί των λογοτεχνών. Εµφανίζεται σε τρία τουλάχιστον µυθιστορήµατα, σ’ ένα από αυτά µάλιστα στον τίτλο.
2. Το πρόβληµα των τέλειων αριθµών: Ένας αριθµός ονοµάζεται τέλειος αν είναι ίσος µε το άθροισµα των γνησίων διαιρετών του. Για παράδειγµα το 6 και το 28: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Όλοι οι τέλειοι αριθµοί που είναι γνωστοί σήµερα είναι άρτιοι. Είναι ανοικτό πρόβληµα αν υπάρχουν περιττοί (µονοί) τέλειοι αριθµοί. Ακόµη, είναι ανοικτό το αν υπάρχουν άπειροι τέλειοι αριθµοί. Με δεδοµένο ότι τα προβλήµατα των τέλειων αριθµών αποδίδονται στους Πυθαγορείους, είναι τα παλαιότερα ανοικτά ακόµα προβλήµατα στα Μαθηµατικά.
3. Το πρόβλημα των φίλων αριθμών: Πάλι στους Πυθαγόρειους οφείλονται και οι φίλοι αριθµοί. ∆υο αριθµοί λέγονται φίλοι αν ο καθένας ισούται µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. Για παράδειγµα το 220 και το 284. 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (όλοι οι διαιρέτες του 220)
220=1+2+4+71+142 (όλοι οι διαιρέτες του 284).
∆ε γνωρίζουµε σήµερα αν τα ζευγάρια των φίλων αριθµών είναι άπειρα ή πεπερασµένα.
4. Προβλήµατα µε πρώτους αριθµούς: ( πρώτος είναι ένας αριθµός που δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και τη µονάδα – το 2, το 3, το 5 είναι πρώτοι ενώ το 4, το 6, το 9, το 15 δεν είναι).
Για παράδειγµα:
α) Υπάρχουν άπειρα ζευγάρια διδύµων πρώτων;
(δηλαδή ζευγάρια πρώτων αριθµών που να διαφέρουν κατά δύο µονάδες, όπως το 3 και το 5, το 5 και το 7, το 17 και το 19)
β) Υπάρχουν άπειροι πρώτοι ρ, τέτοιοι ώστε να είναι πρώτος και ο 2ρ+1;
(όπως για παράδειγµα το 2, το 3, το 5)
γ) Υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθµός ανάµεσα στα τετράγωνα δυο διαδοχικών ακεραίων;
(για παράδειγμα, ανάμεσα στο τετράγωνο του 1 (το 1) και στο τετράγωνο του 2 (το 4), υπάρχει το 3 που είναι πρώτος, ανάμεσα στο τετράφωνο του 2 (το 4) και στο τετράγωνο του 3 (το 9), υπάρχει το 5 και το 7 που είναι πρώτοι κ.ο.κ.)