Πόσοι κόκκοι άμμου χωράνε στο Σύμπαν;

Ο Αρχιμήδης (-287 έως -212) στην άγνωστη στο πλατύ κοινό μελέτη του, τον ‘Ψαμμίτη’, επιχείρησε να υπολογίσει τον αριθμό των κόκκων άμμου που θα καταλάμβαναν τον συνολικό όγκο του Σύμπαντος!









Όλοι τότε θεωρούσαν ότι ένας τόσο μεγάλος αριθμός δεν μπορεί να υπάρχει και να αναπαρασταθεί. Αντίθετα ο Αρχιμήδης θεωρούσε ότι όσο μεγάλο και να είναι ένα πλήθος πραγμάτων είναι οπωσδήποτε δυνατόν να εκτιμηθεί και να αναπαρασταθεί μέσω των Μαθηματικών. Στην κατεύθυνση αυτή άρχισε να ασχολείται με την αναπαράσταση μεγάλων αριθμών, φτάνοντας σε έναν τόσο γιγαντιαίο αριθμό που είναι εντελώς αδιανόητος ακόμη και με τα σημερινά μέτρα.

Ο μεγαλύτερος χρησιμοποιούμενος αριθμός εκείνη την εποχή ήταν η λεγόμενη μυριάδα, δηλαδή το 10.000 ή με τη σημερινή ορολογία 10⁴ ( το 10 υψωμένο στην 4^η). Ο Αρχιμήδης εισήγαγε στη συνέχεια τη λεγόμενη ‘μυριάδα μυριάδων’, δηλαδή το 10.000 x 10.000 ή αλλιώς 10⁸ (10 στην 8^η).

Ο αριθμός αυτός, το 10⁸, αποτέλεσε τη βάση του αριθμητικού του συστήματος, που θα περιέγραφε αριθμούς που θα ξεπερνούσαν σε μέγεθος κάθε φαντασία. Σκέφτηκε λοιπόν ως επόμενο τεράστιο αριθμό μια ‘μυριάδα μυριάδων από μυριάδες μυριάδων’, έστω x. Αυτό με σύγχρονη ορολογία είναι το 10⁸ υψωμένο στην 10⁸, οπότε προκύπτει ότι
x = 10 υψωμένο στον εκθέτη (8 επί 10⁸).

Μετά σκέφτηκε τον αριθμό ‘μια μυριάδα μυριάδων αριθμών x’, έστω y. Αυτός προκύπτει όταν υψώσουμε τον x στην 10⁸, οπότε προκύπτει ότι
y = 10 υψωμένο στον εκθέτη (8 επί 10¹⁶).

Τέλος σκέφτηκε τον αριθμό ‘μια μυριάδα μυριάδων αριθμών y’, έστω z. Αυτός προκύπτει όταν υψώσουμε τον y στην 10⁸, οπότε προκύπτει ότι
z = 10 υψωμένο στον εκθέτη (8 επί 10⁶⁴).

Ο παμμέγιστος αυτός αριθμός στον οποίο κατέληξε ο Αρχιμήδης είναι απείρως μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό πραγμάτων στη φύση, τον εκτιμούμενο αριθμό των στοιχειωδών σωματιδίων ολόκληρου του Σύμπαντος που σήμερα εκτιμάται ότι είναι 10⁸⁰ (το 10 υψωμένο στην 80^η). Είναι επίσης απείρως μεγαλύτερος και από τον επινοημένο αριθμό του μεγάλου μαθηματικού Edward Kasner 10¹⁰⁰ (το 10 υψωμένο στην 100^η) για χάρη του ανιψιού του Milton Sirotta, ο οποίος τον ονόμασε googol (σε αυτό το παιδιάστικο όνομα οφείλει την ονομασία της και η διάσημη μηχανή αναζήτησης google).

Θα κάνω μια προσπάθεια να σας δώσω να καταλάβετε το μέγεθος του αριθμού του Αρχιμήδη, του αριθμού 10 υψωμένου στην 8 επί 10⁶⁴. Φανταστείτε το Σύμπαν του οποίου η ακτίνα εκτιμάται ότι είναι 46,5 δισεκατομμύρια έτη φωτός, η απόσταση δηλαδή που διανύει το φως μέσα σε 46,5 δισεκατομμύρια χρόνια. Αυτό σε μέτρα κάνει 5 επί 10²⁶. Η επιφάνεια αυτής της κολοσσιαίας σφαίρας του Σύμπαντος προκύπτει ότι είναι 80 επί 10⁴⁹ στρέμματα. Αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια της σφαίρας του Σύμπαντος χωρά περίπου 15 επί 10⁵⁴ σελίδες Α4 ή ισοδύναμα περίπου 8 επί 10⁵⁶ χαρακτήρες (γράμματα). Αλλά και πάλι ο εκθέτης του αριθμού του Αρχιμήδη είναι 100 εκατομμύρια φορές μεγαλύτερος. Αυτό σημαίνει ότι για να γράψετε τον αριθμό του Αρχιμήδη πρέπει να συνοδεύσετε το 1 με τόσα μηδενικά όσα γράμματα χωράνε οι εξωτερικές επιφάνειες 100 εκατομμυρίων συμπάντων σαν το δικό μας!

Ας επανέλθουμε όμως στον αντικειμενικό στόχο που είχε ο Αρχιμήδης, μέσω του ορισμού και της αναπαράστασης αυτών των γιγαντιαίων αριθμών. Ήθελε να εκτιμήσει πόσοι κόκκοι άμμου χωρούν μέσα σε όλο το Σύμπαν. Παίρνοντας ως βάση το ηλιοκεντρικό σύστημα του Αρίσταρχου του Σάμιου (ο Αρχιμήδης δηλαδή υποστήριζε την ηλιοκεντρική φύση του πλανητικού μας συστήματος 17 αιώνες πριν τη διστακτική δημοσίευση του Κοπέρνικου) εκτίμησε τον όγκο του Σύμπαντος.

Στη συνέχεια από τον όγκο του Σύμπαντος εκτίμησε τον αριθμό κόκκων άμμου που χωρούν σε αυτόν, καταλήγοντας ότι είναι 10⁶³. Με τους σύγχρονους υπολογισμούς 10⁶³ κόκκοι άμμου ισοδυναμούν με 10⁸⁰ στοιχειώδη σωμάτια σε όλο το Σύμπαν, πράγμα που αποτελεί όντως τη σύγχρονη εκτίμηση της αστροφυσικής για τον συνολικό αριθμό των στοιχειωδών σωματίων του Σύμπαντος.